Conjuntos Numéricos

Conjunto dos números naturais (N)

Propriedade do conjunto dos números naturais

1. A soma de dois números naturais é um número natural.
2. A multiplicação de dois números naturais é um número natural.
3. Se n é um número natural, então n+1 é o sucessor de n e n é o antecessor de n+1.

Conjunto dos números inteiros relativos(Z)

Propriedade do conjunto dos números inteiros

1. Todo número natural é um número inteiro.
2. A soma e a diferença entre dois números inteiros resultam em um outro número inteiro.
3. A multiplicação (produto) entre dois números inteiros é um número inteiro. 

Conjunto dos números racionais (Q)

Propriedade do conjunto dos números racionais

1. Todo número natural e todo número inteiro é um número racional.
2. A soma ou a diferença entre dois números racionais resulta em um outro número racional.
3. O produto entre dois números racionais é um número racional.
4. O quociente entre dois números racionais, sendo o divisor diferente de zero, é um número racional.

Conjunto dos números irracionais (I)

Propriedade do conjunto dos números irracionais

1. Um número irracional não é um número racional.
2. A soma ou a diferença entre um número irracional com um número racional é um número irracional.
3. A produto entre um número irracional e um número racional é um número irracional.
4. O quociente entre um número irracional e número racional, diferente de zero, é um número irracional.

Conjunto dos números reais (R)

Reunião do conjunto dos números racionais com o dos irracionais = conjunto dos números reais.

Diagrama dos conjuntos numéricos

Abaixo temos a representação dos conjuntos numéricos fundamentais em um diagrama.

Critérios de divisibilidade

Critérios de divisibilidade

Conheceremos a seguir os principais casos práticos que nos possibilita dizer se um determinado número natural é ou não divisível por outro número natural, sem que seja preciso efetuar a divisão.

• Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando é par, isto é, quando termina em 0; 2; 4; 6; 8.

• Divisibilidade por 3

Um número natural é divisível por 3 quando a soma de todos os seus algarismos forma um número divisível por 3, ou seja, um múltiplo de 3.

                                                       

Exemplos:

                                    

(A) o número natural 2424 é divisível por 3?

Vamos somar os algarismos deste número, assim: 2 + 4 + 2 + 4 = 12. Portanto, é sim um número divisível por 3.

(B) o número natural 12602 é divisível por 3?

Somados os algarismos deste número: 1 + 2+ 6 + 0 + 2 = 11. Como o resultado não gerou um número divisível por 3, então o número considerado também não será.

• Divisibilidade por 4

Um número natural é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos da direita forem divisíveis por 4 ou terminar em 00.

Exemplos

(A) O número natural 1336 é divisível por 4?

Sim, porque seus dois últimos algarismos são 36, e este número é divisível por 4.

(B) O número 1500 é divisível por?

Sim, pois termina em 00.

• Divisibilidade por 5

Um número natural é divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5.

• Divisibilidade por 6

Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 (número par) e por 3 simultaneamente.

Exemplo

O número natural 12.624 é divisível por 6?

Vamos aos testes:

1°) é divisível por 2? Sim, pois este número é par.

2°) é divisível por 3? Sim, pois o resultado da soma de seus algarismos (1 + 2 + 6 + 2 + 4 = 15) é um número divisível por 3.

Conclusão: o número 12.624 é sim divisível por 6.

• Divisibilidade por 7

Um número natural é divisível por 7 quando retirar o último algarismo da direita e subtrair seu dobro pelo número restante; se o resultado obtido for divisível por 7, então o número é divisível por 7.

Exemplos

(A) O número natural 294 é divisível por 7?

O último algarismo da direita é o 4. Vamos dobrar ele e subtrair do número restante.

29 - 2  = 29 – 8 = 21 (o resultado é um número divisível por 7)

Conclusão: sim, 294 é divisível por 7.

(B) O número natural 1.263 é divisível por 7?

126 - 2 3 = 126 – 6 = 120 (repetiremos o processo para saber se 120 é divisível por 7)

12 - 2 0 = 12 – 0 = 12

Conclusão: 1263 não é divisível por 7.

(C) O número natural 47.768 é divisível por 7?

4776 - 2 8 = 4.776 – 16 = 4.760 (repetir o processo)

476 - 2 0 = 476 – 0 = 476 (novamente)

47 - 2 6 = 47 – 12 = 35

Conclusão: o número 47.768 é sim divisível por 7.

• Divisibilidade por 8

Um número natural é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem 000 ou esses três últimos algarismos formarem um número também divisível por 8.

Exemplos

(A) O número natural 125.000 é divisível por 8?

Sim, pois termina em 000.

(B) O número natural 11.048 é divisível por 8?

Sim. Basta verificar se seus três últimos algarismos são divisíveis por 8. Neste caso temos 048 que é divisível por 8.

• Divisibilidade por 9

Um número natural é divisível por 9 quando a soma de todos os seus algarismos forma um número que é divisível por 9.

Exemplo

O número natural 2.457 é divisível por 9?

Vamos somar os seus algarismos (2 + 4 + 5 + 7 = 18). Sendo o resultado divisível por 9, podemos então concluir que o número 2.457 é sim divisível por 9.

• Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 se o algarismo da unidade for 0.

• Divisibilidade por 11

Um número natural é divisível por 11 quando retirarmos o último algarismo da direita e subtraí-lo pelo número restante; se o resultado obtido for divisível por 11, então o número é divisível por 11.

Exemplos

(A) O número natural 132 é divisível por 11?

12 – 2 = 10. Não é divisível 11.

(B) O número natural 671 é divisível por 11?

67 – 1 = 66. Sim, é divisível por 11.

• Divisibilidade por 12

Um número natural é divisível por 12 quando for divisível por 3 e 4, simultaneamente.

•  Divisibilidade por 13

Um número natural é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar em um número divisível por 13. Pode-se repetir este mesmo processo quando o número encontrado for considerado grande.

Exemplo

O número 481 é divisível por 13?

48 + 4  (o resultado é divisível por 13).

Conclusão: o número 481 é sim divisível por 13.

•  Divisibilidade por 14

Um número natural é divisível por 14 quando for divisível por 2 e 7, simultaneamente.

• Divisibilidade por 15

Um número natural é divisível por 15 quando for divisível por 3 e 5, simultaneamente.

É importante conhecer pelo menos os principais métodos de divisibilidade. O principal objetivo é diminuir o tempo de resolução das questões em provas de concursos. Lembrando ao caro candidato que é importante realizar as contas sem contar com o auxílio principalmente da calculadora.

Professor Fagner

Operações com números decimais: divisão

Para dividir dois números decimais, procedemos da seguinte maneira:

• Igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor;
• Eliminamos a virgula;
• Efetuamos a divisão entre os números naturais obtidos.

Exemplos:

Operações com números decimais: multiplicação

Para multiplicar números decimais devemos proceder da seguinte maneira:

• Multiplicar os números como se fossem naturais;
• Damos ao produto uma quantidade de casas decimais igual à soma das quantidades das casas decimais dos fatores.

Exemplos:

Operações com números decimais: adição e subtração

Para somar ou subtrair números decimais, devemos proceder da seguinte maneira:

• Igualar a quantidade de casas decimais;
• Colocar vírgula embaixo de vírgula;
• Somar ou subtrair como se fossem naturais, alinhando a vírgula do resultado com a das parcelas.

ADIÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS 

Devemos colocar vírgula em baixo de vírgula e somar a partir da unidade até a completar toda a soma.

Exemplos:

SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS 

Assim como na adição procedemos da mesma forma colocamos vírgula embaixo de vírgula e procedemos a subtração até obtermos a diferença.

Exemplos:

Como identificar problemas envolvendo mmc e mdc?

Características de problemas envolvendo mmc

• Situações de repetição, cíclica e repetitiva.
• A pergunta principal gira em torno do próximo encontro ou a próxima vez.
• Agrupar/organizar

Características de problemas envolvendo mdc

• Quer dividir “coisas” ou objetos de quantidade/tamanhos diferentes em partes iguais.
• No maior tamanho possível.

Observação: maior tamanho = menor quantidade.

Vamos propor algumas questões de concursos públicos resolvidos:

01. (PREF. SÃO JOSÉ DO RIO PRETO/SP 2015 VUNESP) O hall de um edifício comercial possui três elevadores que servem andares diferentes. Entre sair do hall, atender aos andares predeterminados e voltar ao hall para reiniciar as viagens, cada um desses elevadores, em situações normais, demora 4 minutos, 10 minutos e 12 minutos, respectivamente. Em um dia em que os elevadores operaram normalmente, esses elevadores encontravam-se no hall às 9h12min. O próximo horário em que os três elevadores estiveram, ao mesmo tempo, no hall, foi às

(A) 9h38min.

(B) 9h44min.

(C) 9h50min.

(D) 10h06min.

(E) 10h12min.

Resolução

Encontrar o mínimo múltiplo comum para descobrir o próximo horário em que os três elevadores estarão novamente no hall.

02. (TRT 22ªR FCC) Sistematicamente, Fábio e Cíntia vão a um mesmo restaurante: Fábio a cada 15 dias e Cíntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2010 ambos estiverem em tal restaurante, outro provável encontro dos dois nesse restaurante ocorrerá em:

A) 09 de dezembro de 2004.

B) 10 de dezembro de 2004.

C) 8 de janeiro de 2005.

D) 9 de janeiro de 2005.

E) 10 de janeiro de 2005.

Resolução

Novamente uma questão envolvendo mmc. O próximo encontro dos dois no restaurante será:

Observação: como outubro e dezembro são de 31 dias, tem que subtrair 2 dias.

03.(PM/SP 2015 VUNESP) Com a quantidade de água contida em um recipiente é possível encher, completamente, copos com 250 mL cada um, ou copos com 300 mL cada um, ou copos com 350 mL cada um, e não restará nenhuma água no recipiente. O menor número de litros de água desse recipiente é

(A) 11,8.

(B) 7,4.

(C) 8,5.

(D) 9,6.

(E) 10,5.

Resolução

O menor número de litros de água desse recipiente pode ser calculado utilizando o mmc, ou seja, mínimo múltiplo comum.

Obsevação: 1litro = 1ml

04. (SAP/SP 2015 VUNESP) Para a realização de uma atividade física, três turmas, A, B e C, de um colégio, respectivamente com 45, 39 e 42 alunos, serão divididas em grupos, todos com o mesmo número de alunos e no maior número possível, de modo que cada grupo tenha apenas alunos de uma mesma turma. O número total de grupos que poderão ser formados é

(A) 39.

(B) 42.

(C) 32.

(D) 45.

(E) 28.

Resolução

Situação clássica de mdc.

05.(AERONÁUTICA EPCAR) Um agricultor fará uma plantação de feijão em canteiro retilíneo. Para isso, começou a marcar os locais onde plantaria as sementes. A figura abaixo indica os pontos já marcados pelo agricultor e as distâncias, em cm, entre eles.

Esse agricultor, depois, marcou outros pontos entre os já existentes, de modo que a distância d entre todos eles fosse a mesma e a maior possível. Se x representa o número de vezes que a distância d foi obtida pelo agricultor, então x é um número divisível por

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

Resolução

Exercícios envolvendo mdc.

Observe que a alternativa d é a única que possui um divisor de 143.